Incetare contract de munca

Buna ziua,
As vrea sa inchei contractul de munca pe care il am cu actualul angajator, va rog sa ma ajutati cu clarificari juridice privind modul in care trebuie sa procedez astfel incat drepturile pe care le am in calitate de angajat sa imi fie acordate.
Data la care voi incepe la noul angajator este 4 aprilie, cand ar trebui sa anunt oficial si sub ce forma (demisie/acordul partilor/alta varianta) actualul angajator privind intentia de a inceta contractul? Pentru continuitate, actualul contract trebuie sa se incheie cu 3 sau cu 4 aprilie?
Momentan am anuntat informal si seful ma preseaza sa depun demisia, insa nu stiu daca in cazul demisiei actualul contract mai este valabil sau se suspenda. Si, este vreo lege/masura, care ma protejeaza impotriva sicanelor sefului direct? Ce masuri (legale) pot intreprinde sa inceteze?
Care este perioada legala pe care trebuie sa o stau la actualul angajator in cazul demisiei? Pentru acordul partilor este o perioada minima obligatorie?
Va multumesc