ce ziceti de un concurs cu teme de cultura generala?

Problema data la clasa a IV-a:

Sa se arate ca nu putem scrie numerele din sirul 1;2;3;...;100 in grupe de cate 10 numere, fara a le repeta, astfel incat in fiecare grupa, suma a sapte numere sa fie egala cu dublul sumei celorlalte trei.

:fight:

Raspuns : n-am putut !=D>

corina

fplopeanu a scris:

Problema data la clasa a IV-a:

Sa se arate ca nu putem scrie numerele din sirul 1;2;3;...;100 in grupe de cate 10 numere, fara a le repeta, astfel incat in fiecare grupa, suma a sapte numere sa fie egala cu dublul sumei celorlalte trei.

:fight:

Suma numerelor din sirul 1, 2, 3, 4, 5...99,100 este 5050, care nu e divizibil cu 3. Din moment ce fiecare grupa de 10 numere ar fi de forma 3 n (suma primelor 7 = 2 X suma celorlalte 3), si suma lor ar trebui sa fie divizibila cu 3. Exista rezolvare mai simpla? :)

@fplopeanu, @eumarian
Eu cred ca se poate, respectand enuntul :
(n-3) + (n-2)+(n-1) + n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=2[(n+4)+(n+5)+(n+6)]
7n=6n+30
n=30
Se inlocuieste n cu 30 si relatia este verificata ! Suma a 7numere diferite este egala cu dublul sumei celorlalte 3 numere !
E bine ?

Binenteles ca exista 10 numere care sa poata fi in relatia ca suma primelor 7 este egala cu dublul sumei celorlalte trei.

Doar ca in problema de mai sus se cere sa se faca 10 astfel de grupe, strict cu numerele de la 1 la 100. Adica de distribuit cele 100 de numere in fix 10 grupe si in fiecare dintre grupe sa existe 7 a caror suma sa fie dublul sumei celorlalte 3 (din grupa). Si asta e imposibil, pentru ca atunci suma fiecarei grupa ar fi fost divizibila cu 3, si suma celor 10 grupuri ar fi trebuit sa fie divizibila cu 3. Dar suma sirulului 1-100 e 5050 care nu e divizibil cu 3.